Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1）连

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1）连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状并说明理由，再求AF的长；（2）如图2动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A运动，点Q以每秒4cm沿C→D→E→C匀速运动一周，一点到达终点时另一点也中止运动．若运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

解答：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，

∠CAD＝∠ACB ∠AEF＝∠CFE OA＝OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5

（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=

4

3

．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=

4

3

秒．