一道高考数学题
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(里面用到的一些知识点，不知现在的教材学了没有)
解：
(1)设A(yA²/2p，yA)，B(yB²/2p，yB)
由y²=2px两边对x求导，得：
2yy'=2p
即：y'=p/y
以A点和B点为切点的抛物线的切线方程分别为：
y-yA=p(x-yA²/2p)/yA
y-yB=p(x-yB²/2p)/yB
即：
y=px/yA+yA/2
y=px/yB+yB/2
由MA⊥MB，有：
(p/yA)·(p/yB)=-1
即
yAyB=-p²
又由MA，MB都经过点M(x0,y0)，得到
px0/yA+yA/2=px0/yB+yB/2
故
x0=(yAyB)/2p=-p/2
(2)由(1)知，M在抛物线的准线上
当p=2时，x0=-1
设AB所在直线方程为：
y=kx+b
将A, B的坐标代入，解得：
k=2p/(yA+yB)，b=-yAyB/(yA+yB)
即：
AB的方程为：
y=2px/(yA+yB)-yAyB/(yA+yB)
令y=0，得：
x=yAyB/2p=-p/2
所以，AB经过抛物线的焦点F(-p/2,0)
由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等：
又由yA与yB异号
AB=AF+BF=(yA²/2p+p/2)+(yB²/2p+p/2)
=(yA²+yB²)/2p+p
≥-2yAyB/2p+p
=2p²/2p+p
=2p
当且仅当 yA=-yB，即yA=-yB=p/2时，“=”成立
解：
(1)设A(yA²/2p，yA)，B(yB²/2p，yB)
由y²=2px两边对x求导，得：
2yy'=2p
即：y'=p/y
以A点和B点为切点的抛物线的切线方程分别为：
y-yA=p(x-yA²/2p)/yA
y-yB=p(x-yB²/2p)/yB
即：
y=px/yA+yA/2
y=px/yB+yB/2
由MA⊥MB，有：
(p/yA)·(p/yB)=-1
即
yAyB=-p²
又由MA，MB都经过点M(x0,y0)，得到
px0/yA+yA/2=px0/yB+yB/2
故
x0=(yAyB)/2p=-p/2
(2)由(1)知，M在抛物线的准线上
当p=2时，x0=-1
设AB所在直线方程为：
y=kx+b
将A, B的坐标代入，解得：
k=2p/(yA+yB)，b=-yAyB/(yA+yB)
即：
AB的方程为：
y=2px/(yA+yB)-yAyB/(yA+yB)
令y=0，得：
x=yAyB/2p=-p/2
所以，AB经过抛物线的焦点F(-p/2,0)
由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等：
又由yA与yB异号
AB=AF+BF=(yA²/2p+p/2)+(yB²/2p+p/2)
=(yA²+yB²)/2p+p
≥-2yAyB/2p+p
=2p²/2p+p
=2p
当且仅当 yA=-yB，即yA=-yB=p/2时，“=”成立
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