Question

已知反比例函数 y= k x 图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线

已知反比例函数 y= k x 图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线AC经过点A，并且经过反比例函数 y= k x 的图象上另一点C（n， - 3 2 ）．（1）反比例函数的解析式为______，m=______，n=______；（2）求直线AC的解析式；（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵Rt△AOB面积为2， ∴|k|=4， 则反比例函数的解析式是：y=- 4 x ； 把A（-2，m）代入y=- 4 x 得，m=- 4 -2 =2； 把C（n， - 3 2 ）代入y= 4 x 得：- 3 2 =- 4 n ，解得：n= 8 3 ； （2）设直线AC的解析式为y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（ 8 3 ，- 3 2 ） ∵直线AC经过点A、B ∴ -2a+b=2 8 3 a+b=- 3 2 解得 a=- 3 4 b= 1 2 ∴直线AC的解析式y= - 3 4 x+ 1 2 ． （3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形； ∵点A（-2，2），AB=|2|=2， ∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA= AB 2 + OB 2 = 2 2 + 2 2 =2 2 ． ①以点O为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P 1 、P 2 ，P 1 （0，-2 2 ），P 2 （0，2 2 ）．（如图1） ②以点A为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P 3 、另一个交点与点O重合．由勾股定理算得P 3 （0，4）．（如图1） ③作OA的垂直平分线l交y轴于P 4 ，如图2， ∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P 4 OA=45° ∵直线l是OA的垂直平分线，∴∠P 4 KO=90°，OK= 1 2 OA． ∴∠KP 4 O=45°，OK= 1 2 ×2 2 = 2 ，∠P 4 OA=∠KP 4 O，OK=KP 4 = 2 ． ∴由勾股定理求得OP 4 =2．点P 4 （0，2）． 综上可知：满足条件的点P的坐标分别为：P 1 （0，-2 2 ），P 2 （0，2 2 ），P 3 （0，4），P 4 （0，2）．