Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax 2 +bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer 1

（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax 2 +bx+c中，得 4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0 解这个方程组，得a=- 1 2 ，b=1，c=0 所以解析式为y=- 1 2 x 2 +x． （2）由y=- 1 2 x 2 +x=- 1 2 （x-1） 2 + 1 2 ，可得 抛物线的对称轴为直线x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB= AN 2 + BN 2 = 4 2 + 4 2 =4 2 ， 因此OM+AM最小值为 4 2 ．