Question

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（　　） A．1： 2 B．1：2 C． 3 ：2 D．1： 3

Answer 1

如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′， ∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°， 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°， ∴∠ABP=∠CBP′， 在△ABP和△CBP′中， ∵ BP=BP′ ∠ABP=∠CBP′ AB=BC ， ∴△ABP≌△CBP′（SAS）， ∴AP=P′C， ∵P′A：P′C=1：3， ∴AP=3P′A， 连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形， ∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB， ∵∠AP′B=135°， ∴∠AP′P=135°-45°=90°， ∴△APP′是直角三角形， 设P′A=x，则AP=3x， 根据勾股定理，PP′= AP 2 -P′A 2 = (3x) 2 -x 2 =2 2 x， ∴PP′= 2 PB=2 2 x， 解得PB=2x， ∴P′A：PB=x：2x=1：2． 故选B．