Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C 1 的参数方程为 x=4cosθ y=2sinθ （

在平面直角坐标系xoy中，曲线C 1 的参数方程为 x=4cosθ y=2sinθ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C 2 的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．（Ⅰ）化曲线C 1 、C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）设曲线C 1 与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C 2 的切线l，求切线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C 1 ： x 2 16 + y 2 4 =1 ；曲线C 2 ：（x-1） 2 +（y+2） 2 =5；（3分） 曲线C 1 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆； 曲线C 2 为圆心为（1，-2），半径为 5 的圆（2分） （Ⅱ）曲线C 1 ： x 2 16 + y 2 4 =1 与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0， 所以点P的坐标为（4，0），（2分） 显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4）， 由曲线C 2 为圆心为（1，-2），半径为 5 的圆得 |k+2-4k| k 2 +1 = 5 ， 解得 k= 3± 10 2 ，所以切线l的方程为 y= 3± 10 2 (x-4) （3分）