Question

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（2x-1-43a），若函

已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（2x-1-43a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），∴log4(4?x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
化为log4

1+4x

4x

×

1

1+4x

=2kx，化为（2k+1）x=0，
此式对于任意实数x都成立，∴2k+1=0，解得k＝?

1

2

．
经过验证满足条件．
（2）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴函数h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x?1? 4 3 a

-

1

2

x只有一个零点．
由h（x）=0，可得

4x+1

2x?1? 4 3 a

＝4

1

2

x，化为

4

3

a＝?(

2x

2

+

1

2x

)≤?2

2x 2 ? 1 2x

=-

2

，当且仅当x=0时取等号．
∴a≤?

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