在数列{an}(n∈N*)中，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝4(ann
在数列{an}(n∈N*)中，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝4(ann)2，求数列{（-1）nbn}...
在数列{an}(n∈N*)中，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝4(ann)2，求数列{（-1）nbn}的前n项和Tn；（3）求证：1+a1a1?1+a2a2?…?1+anan＜9．
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（1）方法1：∵
＝
(n∈N*)，且S1=a1=1，
∴当n≥2时，Sn＝S1?
?
?…?
＝1×
×
×
×…×
＝
，且S1=1也适合．
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝
，且a1=1也适合，∴an＝
(n∈N*)．
方法2：∵nSn+1-（n+3）Sn=0，∴（n-1）Sn-（n+2）Sn-1=0，
两式相减，得n（Sn+1-Sn）=（n+2）（Sn-Sn-1），即nan+1=（n+2）an，即
＝
(n≥2)．
又∵可求得a2=3，∴
＝3也适合上式．综上，得
＝
(n∈N*)．
当n≥2时，an＝a1?
?
?…?
＝1×
| Sn+1 |
| Sn |
| n+3 |
| n |
∴当n≥2时，Sn＝S1?
| S2 |
| S1 |
| S3 |
| S2 |
| Sn |
| Sn?1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| n+2 |
| n?1 |
| n(n+1)(n+2) |
| 6 |
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝
| n(n+1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 2 |
方法2：∵nSn+1-（n+3）Sn=0，∴（n-1）Sn-（n+2）Sn-1=0，
两式相减，得n（Sn+1-Sn）=（n+2）（Sn-Sn-1），即nan+1=（n+2）an，即
| an+1 |
| an |
| n+2 |
| n |
又∵可求得a2=3，∴
| a2 |
| a1 |
| an+1 |
| an |
| n+2 |
| n |
当n≥2时，an＝a1?
| a2 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| an |
| an?1 |
| 3 |
