Question

已知函数f（x）=alnx+1x-1在x=1处取极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[1e，e2]上的最大值和最小值

已知函数f（x）=alnx+1x-1在x=1处取极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[1e，e2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝

ax?1

x2

，（x＞0）．
∵f'（1）=0，
∴

a?1

1

＝0，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)＝

x?1

x2

，
在[1，e²]上f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在[

1

e

，1]上f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴（f（x））_min=f（1）=0；
又f(

1

e

)＝e?2，f(e2)＝

1

e2

+1，
∴(f(x))max＝f(e2)＝

1

e2

+1．