Question

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b-c）cosA=acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b-c）cosA=acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为22，并且边AB上的中线CM的长为172，求b，c的长．

Answer 1

（Ⅰ）已知等式b（3b-c）cosA=abcosC，由正弦定理化简得：sinB（3sinB-sinC）cosA=sinAsinBcosC，
∵sinB≠0，
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，
∴sinA=

1?cos2A

=

2 2

3

，
由题意得：S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

2

，即bc=6①，
由余弦定理得：cosA=

b2+ c2 4 ? 17 4

2b? c 2

=

1

3

，即4b²+c²=25②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=

3

2

，c=4．