Question

已知圆O的方程为（x-1）2+（y+3）2=4．（Ⅰ）求过点P（2，-1），且与圆O相切的直线l的方程；（Ⅱ）直线m

已知圆O的方程为（x-1）2+（y+3）2=4．（Ⅰ）求过点P（2，-1），且与圆O相切的直线l的方程；（Ⅱ）直线m过点P（2，-l），且与圆O相交于A、B两点，若|AB|=23，求直线m的方程．

Answer 1

（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=2，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：
y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，
圆心（1，-3）到直线l的距离d=r=2，
∴

|k+3?2k?1|

k2+1

=2，
解得k=

4±2 7

3

，
∴直线l的方程为y=

4±2 7

3

（x-2）．
（Ⅱ）设直线m的方程为y+1=k₁（x-2），即k 1 x-y-2k₁-1=0，
∵圆半径r=2，弦长|AB|=2

3

，
∴圆心（1，-3）到直线m的距离d=

4?3

=1，
∴d=

|k1+3?2k1?1|

k12+1

＝1，
解得k=

3

4

，∴直线m的方程为3x-4y-10=0．
当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，成立．
∴直线m的方程为3x-4y-10=0或x=2．