Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线y＝12x+2交y轴于点C，且过点

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线y＝12x+2交y轴于点C，且过点D（8，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；（3）将抛物线y=x2+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A′B′DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A′B′DC周长的最小值．

Answer 1

（1）由于抛物线经过A（2，0），B（4，0），则有：
y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8；

（2）易知：C（0，2），D（8，6）；
作C关于x轴的对称点C′（0，-2），连接C′D，点P即为直线C′D与x轴的交点；
设直线C′D的解析式为：y=kx-2，则有：
8k-2=6，k=1；
∴直线C′D的解析式为y=x-2；则P点坐标为：P（2，0）；

（3）当抛物线向右平移时，A′C+B′D＞AC+BD，显然不存在符合条件的抛物线；
当抛物线向左平移时，设平移后A′（x，0），B′（x+2，0）；
若平移后四边形A′B′DC的周长最小，那么A′C+B′D就应该最小；
将D向左平移2个单位，得：D′（6，6）；
若四边形A′B′DC的周长最小，那么C′、A′、D′就应该在同一直线上，
设直线C′D′的解析式为：y=k′x-2，则有：6k′-2=6，k′=

4

3

；
∴直线C′D′的解析式为y=

4

3

x-2，
则A′（

3

2

，0），B′（

7

2

，0）；
∴此时抛物线的解析式为：y=（x-

3

2

）（x-

7

2

）=x²-5x+

21

4

；
此时四边形A′B′DC的周长为：A′B′+A′C+B′D+CD=AB+CD+C′D′=2+4

5

+10=12+4

5

．