Question

已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（2

已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1∈（0，12），求证：h（x1）-h（x2）＞34-ln2；（3）设r（x）=f（x）+g（1+ax2），若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[12，1]，使不等式r（x0）＞k（1-a2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，f（x）≥g（x），
∴a≤x-

lnx

x

，（x＞0）．（1分）
设?（x）=x-

lnx

x

，?′（x）=

x2+lnx?1

x2

，（2分）
当x∈（0，1）时，?′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，?′（x）＞0，
∴?（x）≥?（1）=1，∴a∈（-∞，1]．（4分）
（2）h（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=

2x2?ax+1

x

，（x＞0）（5分）
∴x1x2＝

1

2

，
∵x1∈(0，

1

2

)，∴x₂∈（1，+∞），且ax1＝2x12+1，（i=1，2），（6分）
∴h（x₁）-h（x₂）=（x12?ax1+lnx1）-（x22?ax2+lnx2）
=（-x12?1+lnx1）-（-x22?1+lnx2）
=x22?x12+ln

x1

x2

=x22?

1

4x22

?ln2x22，（x₂＞1）．（8分）
设u（x）=x²-

1

4x2

-ln2x²，x≥1，
则u′(x)＝

(2x2?1)2

2x3

≥0，∴u（x）＞u（1）=

3

4

?ln2．
即h(x1)?h(x2)＞

3

4

?ln2．（10分）
（3）∵r（x）=f（x）+g（

1+ax

2

），
∴r′(x)＝

a

1+ax

+2x?a=

2ax(x? a2?2 2a )

1+ax

，

a2?2

2a

＝

a

2

?

1

a

≤

2

2

?

1

2

＝

1

2

，
∴r（x）在[

1

2

，+∞）上为增函数，∴r（x₀）_max=r（1）=1-a+ln

1+a

2

 ，
所以1-a+ln

1+a

2

 ＞k（1-a²），（12分）
设?（a）=1-a+ln

1+a

2

 +k（a²-1），a∈（1，2），?（1）=0，
有?（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，
∵?′（x）=

a

1+a

（2ka-1+2k）．
①k=0时，∵?′(x)＝

?a

1+a

，∴?（a）在a∈（1，2）递减，
此时?（a）＜?（1）=0不符合；（13分）
②k＜0时，∵?′(x)＝

2ka

1+a

(a?

1

2k

+1)，?（a）在a∈（1，2）递减，
此时?（a）＜?（1）=0不符合；（14分）
③k＞0时，∵?′(a)＝

2ka

1+a

(a?

1

2k

+1)，
若

1

2k

?1≤1，则?（a）在区间（1，2）上递增，此时?（a）＞0成立，符合
若

1

2k

?1≥1，则?（a）在区间（1，min{2，

1

2k

?1}）上递减，此时?（a）＜?（1）=0不符合；（15分）
综上得

k＞0 1 2k ?1≤1

，解得k≥

1

4

，即实数k的取值范围为[

1

4

，+∞）．（16分）