Question

如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐

如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。（1）求这个二次函数的表达式；（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积。

Answer 1

解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ， 解得： ， 所以二次函数的表达式为： ；
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（x， ）， PP′交CO于E， 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO， 连结PP′则PE⊥CO于E， ∴OE=EC= ， ∴ ， ∴ 解得 ， （不合题意，舍去） ∴P点的坐标为（ ， ）；
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ）， 易得，直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）， 当 时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积 。