Question

（20e0?哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点2是AB边上一点，点E在线段D2的延长线上，∠BA

（20e0?哈尔滨）已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点2是AB边上一点，点E在线段D2的延长线上，∠BAE=∠BD2，点M在线段D2上，∠ABE=∠DBM．（e）着图e，当∠ABC=45°时，求证：AE= 2 MD；（2）着图2，当∠ABC=v0°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：______．（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= 2 7 ，求tan∠ACP的值．

Answer 1

（1）证明：f图1，连接AD． ∵AB=A人，BD=人D， ∴AD⊥B人． 又∵∠AB人=45°， ∴BD=AB?人os∠AB人即AB= 2 BD． ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM， ∴△ABE ∽ △DBM． ∴ AE DM = AB DB = 2 ， ∴AE= 2 MD． （2）∵人osm七°= 1 2 ， ∴MD=AE?人os∠AB人=AE? 1 2 ，即AE=2MD． ∴AE=2MD； （3）f图2，连接AD，EP． ∵AB=A人，∠AB人=m七°， ∴△AB人是等边三角形． 又∵D为B人的中点， ∴AD⊥B人，∠DA人=3七°，BD=D人= 1 2 AB． ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM， ∴△ABE ∽ △DBM． ∴ BE BM = AB DB =2 ， ∠AEB=∠DMB． ∴EB=2BM． 又∵BM=MP， ∴EB=BP． ∵∠EBM=∠AB人=m七°， ∴△BEP为等边三角形， ∴EM⊥BP， ∴∠BMD=9七°， ∴∠AEB=9七°． 在Rt△AEB中，AE=2 7 ，AB=7， ∴BE= AB 2 - AE 2 = 21 ． ∴tan∠EAB= 3 2 ． ∵D为B人中点，M为BP中点， ∴DM ∥ P人． ∴∠MDB=∠P人B， ∴∠EAB=∠P人B． ∴tan∠P人B= 3 2 ． 在Rt△ABD中，AD=AB?sin∠ABD= 7 2 3 ， 在Rt△ND人中，ND=D人?tan∠N人D= 7 4 3 ， ∴NA=AD-ND= 7 4 3 ． 过N作NH⊥A人，垂足为H． 在Rt△ANH中，NH= 1 2 AN= 7 8 3 ，AH=AN?人os∠NAH= 21 8 ， ∴人H=A人-AH= 35 8 ， ∴tan∠A人P= 3 5 ．