Question

已知不等式 1 x + a y ≥ 16 x+y 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最

已知不等式 1 x + a y ≥ 16 x+y 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______．

Answer 1

∵不等式 1 x + a y ≥ 16 x+y 对任意正实数x，y恒成立， ∴ (x+y)( 1 x + a y ) min ≥16对于任意正实数x，y恒成立 ∵ (x+y)( 1 x + a y ) =1+ y x + ax y +a ≥1+a+2 a ， ∴1+a+ a ≥16     即 ( a +5)( a -3) ≥0，又a＞0， 从而 a ≥3∴ a min =9． 故答案为：9