Question

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF． （1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

Answer 1

（1）详见试题解析; （2）

试题分析：（1）AF为为圆O的切线，理由为：练级OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证； （2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，而OA=OC，OF为角平分线，利用三线合一得到E为AC中点，OE垂直于AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长． 试题解析：（1）AF为圆O的切线，理由为： 连接OC， ∵PC为圆O切线， ∴CP⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∴∠AOF=∠COF， ∵在△AOF和△COF中， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF=∠OCF=90°， 则AF为圆O的切线； （2）∵△AOF≌△COF， ∴∠AOF=∠COF， ∵OA=OC， ∴E为AC中点，即AE=CE= AC，OE⊥AC， ∵OA⊥AF， ∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3， 根据勾股定理得：OF=5， ∵S △ AOF =OA?AF=? OF?AE， ∴AE= ， 则AC=2AE= ．