Question

如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ ADE．（1）△ACD和

如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．

Answer 1

（1）△ACD≌△CBF 证：∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC ∠ACD=∠B=60° ∵CD=BF ∴△ACD≌△CBF（SAS） （2）四边形CDEF为平行四边形 ∵△ACD≌△CBF ∴∠DAC=∠BCF，CF=AD ∵△AED是等边三角形 ∴AD=DE ∴CF=DE① ∵∠ACG+∠BCF=60° ∴∠ACG+∠DAC=60° ∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120° ∴∠DGF=∠AGC=120° ∵△AED是等边三角形 ∴∠ADE=60° ∴∠DGF+∠ADE=180° ∴CF ∥ DE② 综合①②可得四边形CDEF是平行四边形． （3）∵AC=BC， 当点D是BC中点时，BF=CD= 1 2 BC= 1 2 AB， ∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB， ∴∠DEF= 1 2 ∠ACB=30°， ∴当点D是BC中点时，∠DEF=30°．