Question

如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB= 2 AE，且

如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB= 2 AE，且BD= 2 3 ，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

∵AE=EC，AB= 2 AE， ∴AB 2 =2AE 2 =AE?AC， ∴AB：AC=AE：AB， 又∠EAB=∠BAC， ∴△ABE ∽ △ACB， ∴∠ABE=∠ACB， 从而AB=AD． 连接AO，交BD于H，连接OB， ∵AB=AD， ∴AO⊥BD， ∴BH=HD， BO=2，BH= 3 ， 则BH=HD= 3 ． ∴OH= OB 2 - BH 2 = 4-3 =1，AH=OA-OH=2-1=1． ∴S △ABD = 1 2 BD?AH= 1 2 ×2 3 ×1= 3 ， ∵E是AC的中点，∴S △ABE =S △BCE ， S △ADE =S △CDE ，∴S △ABD =S △BCD ， ∴S 四边形ABCD =2S △ABD =2 3 ．