Question

如图，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=12AB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（1

如图，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=12AB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．（1）求证：AF⊥BC；（2）求二面角B-AF-C的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，
∵AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，
∴BC⊥AC，
∵FC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AF⊥BC；
（2）解：过C作CG⊥AF于G点，连BG
又AF⊥BC，故AF⊥平面BCG，于是∠BGC为所求角．
在△BGC中，BC=

2

a，CG=

AC?CF

AF

=

6

3

a，
于是tan∠BGC=

3

，∴cos∠BGC=

1

2

．