已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）极小值=1，f（x）极大值=312
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）极小值=1，f（x）极大值=3127，试求y=f（x）的解析式；（2）当x∈...
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）极小值=1，f（x）极大值=3127，试求y=f（x）的解析式；（2）当x∈[0，1]时，设f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a∈[32，3]且a为常数，求θ的取值范围．
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（1）由f′（x）=-3x2+2ax（a＞0），
令f′（x）=0，得x=0或x=
a．…（1分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴当x=0时，f（x）极小值=f（0）=b=1，当x=
a时，f（x）极大值=?
a3+
a3+1=
，…（4分）
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x3+x2+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x2+2ax=?3(x?
)2+
，…（7分）
∵a∈[
，
]，
∴
≤
≤
．
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（
）．…（10分）
∴0≤f′（x）≤
，即0≤tanθ≤
，
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan
令f′（x）=0，得x=0或x=
| 2 |
| 3 |
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，
|
| （
| ||||||
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| f（x） | ↘ | b | ↗ | f（
| ↘ |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
| 4 |
| 9 |
| 31 |
| 27 |
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x3+x2+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x2+2ax=?3(x?
| a |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
∵a∈[
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| a |
| 3 |
| ||
| 3 |
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（
| a |
| 3 |
∴0≤f′（x）≤
| a2 |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan
