Question

（2012?广西）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交

（2012?广西）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠BAD=ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠E+∠EDO=180°，
又AE⊥ED，即∠E=90°，
∴∠EDO=90°，
则ED为圆O的切线；

（2）解：连接BD，如图所示，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，cos∠DAB=

AD

AB

，
在Rt△AED中，AE=4，AD=5，
∴cos∠EAD=

AE

AD

=

4

5

，又∠EAD=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠EAD=

AD

AB

=

4

5

，
则AB=

5

4

AD=

25

4

，即圆的直径为

25

4

．