已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．试证明：（1）?a∈R，y=（a+1）（2x-1）是函数y=f（x
已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．试证明：（1）?a∈R，y=（a+1）（2x-1）是函数y=f（x）的图象的一条切线；（2）?a∈R，存在...
已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．试证明：（1）?a∈R，y=（a+1）（2x-1）是函数y=f（x）的图象的一条切线；（2）?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=f(e)?f(1)e?1．
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证明：（1）∵f（x）=x2+a（x+lnx），
∴f′(x)＝2x+a(1+
)，直线y=（a+1）（2x-1）的斜率k=2（a+1），
由2x+a(1+
)＝2(a+1)，得x=1，
∴f′（1）=2a+2，
又f（1）=1+a，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线为y-1-a=（2a+2）（x-1），
即y=（a+1）（2x-1），
∴y=（a+1）（2x-1）是曲线y=f（x）的一条切线；
（2）直接计算知
＝e+1+a+
，
设函数g(x)＝f′(x)?
＝2x?(e+1)+
?
，
g(1)＝1?e+a?
＝
，
g(e)＝e?1+
?
＝
，
当a＞e（e-1）2或a＜
时，g(1)?g(e)＝?
＜0，
∵y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，∴存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，
即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=
；
当
≤a≤e(e?1)2时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，
由均值不等式知，g(x)≥2
?
，等号当且仅当x＝
∴f′(x)＝2x+a(1+
| 1 |
| x |
由2x+a(1+
| 1 |
| x |
∴f′（1）=2a+2，
又f（1）=1+a，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线为y-1-a=（2a+2）（x-1），
即y=（a+1）（2x-1），
∴y=（a+1）（2x-1）是曲线y=f（x）的一条切线；
（2）直接计算知
| f(e)?f(1) |
| e?1 |
| a |
| e?1 |
设函数g(x)＝f′(x)?
| f(e)?f(1) |
| e?1 |
| a |
| x |
| a |
| e?1 |
g(1)＝1?e+a?
| a |
| e?1 |
| a(e?2)?(e?1)2 |
| e?1 |
g(e)＝e?1+
| a |
| e |
| a |
| e?1 |
| e(e?1)2?a |
| e(e?1) |
当a＞e（e-1）2或a＜
| (e?1)2 |
| e?2 |
| [a(e?2)?(e?1)2]?[a?e(e?1)2] |
| e(e?1)2 |
∵y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，∴存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，
即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=
| f(e)?f(1) |
| e?1 |
当
| (e?1)2 |
| e?2 |
由均值不等式知，g(x)≥2
| 2a |
| a+e2?1 |
| e?1 |
|
