设F（x）为f（x）的原函数，且当x≥0时，f（x）F（x）=xex2(1+x)2，已知F（0）=1，F（x）＞0，试求f（x）
设F（x）为f（x）的原函数，且当x≥0时，f（x）F（x）=xex2(1+x)2，已知F（0）=1，F（x）＞0，试求f（x）．...
设F（x）为f（x）的原函数，且当x≥0时，f（x）F（x）=xex2(1+x)2，已知F（0）=1，F（x）＞0，试求f（x）．
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∵F′（x）=f（x）
∴由f（x）F（x）=
得：
2F′(x)F(x)＝
两边积分得：
∫2F′(x)F(x)dx＝∫
dx
上式左边=2∫F（x）dF（x）=F2（x）+C1
上式右边=?∫xexd
=?
+
d(xex)
=?
+∫
dx=?
+ex+C2
=
+C2
∴F2(x)＝
+C
又F（0）=0
∴C=-1
∴F(x)＝
∴f(x)＝F′(x)＝
∴由f（x）F（x）=
| xex |
| 2(1+x)2 |
2F′(x)F(x)＝
| xex |
| (1+x)2 |
两边积分得：
∫2F′(x)F(x)dx＝∫
| xex |
| (1+x)2 |
上式左边=2∫F（x）dF（x）=F2（x）+C1
上式右边=?∫xexd
| 1 |
| 1+x |
| xex |
| 1+x |
| ∫ |
| 1 |
| 1+x |
=?
| xex |
| 1+x |
| (1+x)ex |
| 1+x |
| xex |
| 1+x |
=
| ex |
| 1+x |
∴F2(x)＝
| ex |
| 1+x |
又F（0）=0
∴C=-1
∴F(x)＝
|
∴f(x)＝F′(x)＝
| xex | |||||
2(1+x)2
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