Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1⊥面ABC，点D是BC的中点

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1⊥面ABC，点D是BC的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：A1B∥平面ADC1．

Answer 1

解：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以C₁C⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，所以C₁C⊥AD，…（2分）
又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，
因为BC∩C₁C=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（4分）
又因为DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥C₁D．…（6分）
（2）连接A₁C交AC₁于点E，再连接DE．…（7分）
因为四边形A₁ACC₁为矩形，
所以E为A₁C的中点，…（8分）
又因为D为BC的中点，
所以ED∥A₁B．…（10分）
又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（12分）