Question

已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（2）设a≠0，

已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（2）设a≠0，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）

Answer 1

（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-(x?

a

2

)2+

a2

4

．
当2＜a＜3时，

a

2

∈（1，

3

2

）时，f_min（x）=f（2）=2|2-a|=2（a-2）．
当

a

2

≥

3

2

时，即a≥3时，f_min（x）=f（1）=|1-a|=a-1．
综上可得，f_min（x）=

2a?4，a∈(2，3) a?1，a≥3

．
（2）a≠0，f（x）=

x(x?a)  ，  x≥a x(a?x) ，  x＜a

．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：显然函数f（x）在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y＝ a2 4 y＝ x(x?a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．
   图1  图2 
 
②当a＜0时，如图2所示：显然函数f（x）在（a，+∞）上的最小值为f（

a

2

）=-

a2

4

．
由

y＝? a2 4 y＝ x(a?x)

 解得 x=

1+ 2

2

a．

由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．