Question

如图所示，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球，弹簧的劲度系数为k，小球 与水平面的摩擦系数为

如图所示，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球，弹簧的劲度系数为k，小球 与水平面的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小位于O点，开始时小球位于O 点右方的A点，O与A之间的距离为l0，从静止释放小球．（1）为使小球能通过O点，而且只能通过一次，试问μ值应在什么范围？（2）在上述条件下，小球在O点左方的停住点与O 点的最大距离是多少？（已知弹簧的弹性势能Ep=12kx2，k为弹簧的劲度系数，x为形变量）

Answer 1

（1）本题要求小球停在O点或O点左方，必有：
μmgl0≤

1

2

kl02　　　即：μ≤

kl0

2mg

　　此为μ的上限
设小球到达左方最远点距O点的距离为l₁，因最后停止点不能越过O点，满足：

1

2

kl02≤μmg(l0+2l1)…①
因B为最远点有：
μmg(l0+l1)＝

1

2

k(l02?l12)…②
得：l1＝l0?

2μmg

k

代入①得：

4m2g2

k

μ2?3mgl0μ+

1

2

kl02＜0
令：y=

4m2g2

k

μ2?3mgl0μ+

1

2

kl02
得：μ1＝

kl0

4mg

，μ2＝

kl0

2mg

由此中知μ的取值范围为：

kl0

4mg

＜μ＜

kl0

2mg

（2）要让小球在左方最远点B处停处，则必有：
kl₁≤μmg…③
由②③得l1≤

l0

3

答：（1）为使小球能通过O点，而且只能通过一次，μ值应在什么范围为

kl0

4mg

＜μ＜

kl0

2mg

；
（2）在上述条件下，小球在O点左方的停住点与O 点的最大距离是

l0

3

．