Question

函数f(x)在(﹣∞,﹢∞)内满足f'(x)=f(x),且f(0)=1,证明f(x)=e^x

运用微分中值定理解答
最好是罗尔定理
函数f(x)在(﹣∞,﹢∞)内满足f'(x)=f(x),且f(0)=1,证明f(x)=e^x

Answer 1

一定要用中值定理么？
令h(x)=f(x)/e^x
则h(0)=f(0)/1=1，
h'(x)=(f'(x)e^x-f(x)e^x)/(e^2x)=e^x(f'(x)-f(x))/e^2x=0
于是h(x)是 常数，所以h(x)=h(0)=1
即f(x)=e^x

追问

一定要用到中值定理来解答，因为上课的时候，老师是用中值定理的。