Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的离心率为 .

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的离心率为 5 3 ，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B 1 ，B 2 ，且MB 1 ⊥MB 2 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由  5 9 = e 2 = a 2 - b 2 a 2 =1- b 2 a 2 ，得  b a = 2 3 ．…（2分） 依题意△MB 1 B 2 是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分） 所以椭圆C的方程是 x 2 9 + y 2 4 =1 ．…（5分） （Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），直线AB的方程为x=my+2． 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m 2 +9）y 2 +16my-20=0．…（7分） 所以  y 1 + y 2 = -16m 4 m 2 +9 ， y 1 y 2 = -20 4 m 2 +9 ．…（8分） 若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．…（9分） 设P（a，0），则有  y 1 x 1 -a + y 2 x 2 -a =0 ． 将 x 1 =my 1 +2，x 2 =my 2 +2代入上式，整理得  2m y 1 y 2 +(2-a)( y 1 + y 2 ) (m y 1 +2-a)(m y 2 +2-a) =0 ， 所以 2my 1 y 2 +（2-a）（y 1 +y 2 ）=0．…（12分） 将  y 1 + y 2 = -16m 4 m 2 +9 ， y 1 y 2 = -20 4 m 2 +9 代入上式，整理得 （-2a+9）?m=0．…（13分） 由于上式对任意实数m都成立，所以  a= 9 2 ． 综上，存在定点 P( 9 2 ，0) ，使PM平分∠APB．…（14分）