Question

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）当a=2时，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx
∴f′（x）=2x-5+

2

x

∴f′（1）=-1，f（1）=-4，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+3=0
（II）∵f′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2?(2a+1)x+a

x

令f′（x）=0，可得x1＝

1

2

，x₂=a
①当a＞

1

2

时，由f′（x）＞0可得，
f（x）在（0，

1

2

），（a，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0可得：
f（x）在（

1

2

，a）上单调递减，
②当a=

1

2

时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）＞0可得
f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0，可得f（x）在（a，

1

2

）上单调递减
④当a≤0时，由f′（x）＞0，可得，
f（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0可得f（x）在（0，

1

2

）上单调递减．
（III）由题意可知，对?a∈（-3，-2），x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立
等价于ma-1＜f（x）_min，
由（II）知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在[1，3]上单调递增
∴f（x）_min=f（1）=-2a，
∴原题等价于对?a∈（-3，-2）时，ma-1＜-2a恒成立，
即m＞

1?2a

a

=

1

a

-2，在a∈（-3，-2）时，有-

5

2

＜

1

a

?2＜-

7

3

故当m≥-

7

3

时，ma-1＜-2a恒成立，
∴m≥-

7

3

．