Question

设f（x）连续，f（2）=1，且满足∫x0tf（3x-t）dt=arctan（1+ex），求∫32f（x）dx

设f（x）连续，f（2）=1，且满足∫x0tf（3x-t）dt=arctan（1+ex），求∫32f（x）dx．

Answer 1

令3x-t=u，原等式可转化为：

∫

x 0

tf（3x-t）dt
=

∫

3x 2x

(3x?u)f(u)du
=3x

∫

3x 2x

f(u)du-

∫

3x 2x

uf(u)du
=arctan（1+e^x），
所以对等式3x

∫

3x 2x

f(u)du-

∫

3x 2x

uf(u)du=arctan（1+e^x），两边求导得：
3

∫

3x 2x

f(u)du+3x[f（3x）-f（2x）]-[3xf（3x）-2xf（2x）]
=3

∫

3x 2x

f(u)du+xf（2x）=

ex

1+(1+ex)2

，
令x=1，
则

∫

3 2

f(x)dx=

e

3[1+(1+e)2]

-

1

3