Question

已知动圆过定点F1（-3，0），且与圆O：（x-3）2+y2=100相内切，（1）求动圆的圆心的轨迹曲线C．（2）若P

已知动圆过定点F1（-3，0），且与圆O：（x-3）2+y2=100相内切，（1）求动圆的圆心的轨迹曲线C．（2）若P是C上的一点，F2为圆O的圆心且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．

Answer 1

（1）设切点为N，动圆与圆O内切，
则F₂，M，N三点共线，且|MF₁|=|MN|
∴|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MF₂|=|NF₂|
即M到定点F₁，F₂的距离之和为定值10＞|F₁F₂|=6
故M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆
易知c=3，a=5，b=4
M的轨迹方程是

x2

25

+

y2

16

＝1．
（2）设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则r₁+r₂=2a=10?r₁²+2r₁r₂+r²=100（1）
又在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂²-r₁r₂=4c²=36（2）
（1）-（2）得r1r2＝

64

3

∴S△F1PF2＝

1

2

r1r2＝

32

3