Question

如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点．（1）求直

如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点．（1）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（2）在x轴上是否存在一点P，使得PB-PA的值最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点Q在双曲线上运动时，作以OA、OQ为邻边的平行四边形，求平行四边形周长最小时点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数y=-

8

x

，
∴-4n=-8，
解得：n=2，
将A（-4，2），B（2，-4）代入一次函数y=kx+b得：

?4k+b＝2 2k+b＝?4

，
解得：

k＝?1 b＝?2

，
∴直线AB的解析式为：y=-x-2，
当y=0时，x=-2，
∴直线AB与x轴的交点C的坐标为：C（-2，0），
∴S_△AOB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6；

（2）存在，作B点关于x轴对称点B′，连接AB′，直线AB′与x轴交点即为P点，此时PB-PA最大．
∵B（2，-4），∴B′（2，4），
将A，B′代入y=ax+k得：

2a+k＝4 ?4a+k＝2

，
解得：

a＝ 1 3 b＝ 10 3

，
∴y=

1

3

x+

10

3

，
当y=0时，x=-10，
∴P（-10，0）；

（3）作以OA、OQ为邻边的平行四边形，当横纵坐标的绝对值相等时OQ长度最短，平行四边形周长最小，
∴x²=8，
解得：x=±2

2

，
∴Q （-2

2

，2

2

）或Q（2

2

，-2

2

）．