Question

已知函数fx=x2+x-a的绝对值+1（a∈R） 1判断函数fx的奇偶性 2求函数fx的最小值

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x），
此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≤a时，
f（x）=x2-x+a+1=(x- 1 2 )2+a+ 3 4
∵a≤ 1 2 ，故函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 ，
∵a≥- 1 2
故函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）
=a2+1．
综上得，当- 1 2 ≤a≤ 1 2 时，函数f（x）的最小值为a2+1．