Question

n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量，但同一特征值所对应的特征向量就是无穷个，

那不是有无穷多的线性无关特征向量吗？

Answer 1

这可能是概念问题

属于同一特征值λ的特征向量 是齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的非零解
确实有无穷多个
但线性无关的解向量组 最多含 n - r(A-λE) 个 , 即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数

另, n+1个n维向量线性相关

Answer 2

特征向量有无穷多个不代表其极大无关组也有无穷多个
举个简单的例子，R^2平面上有无穷多个向量，但线性无关组只能取两个

追问

但定义里没说极大无关组呀，线性无关向量的个数满足矩阵阶数，

追答

如果矩阵是n阶的，连极大无关组都只能有不超过n个向量，何况没有“极大”的条件