Question

★多元函数微分学 "设f(x, y) = |x - y|·φ(x, y), 其中, φ(x, y)在点(0, 0)的邻域内连续, 问..."

Answer 1

(1) 因为 lim(x-->0)|x|/x =1 或 -1
f_x(0,0)=lim(x-->0)[f(x,0)-f(0,0)]/x
=lim(x-->0)|x|*Phi(x,0)/x
当且仅当 lim(x-->0)Phi(x,0)=0 时存在。
同理，f_y(0,0)=lim(y-->0)[f(0,y)-f(0,0)]/y
=lim(y-->0)|y|*Phi(0,y)/y
当且仅当 lim(y-->0)Phi(0,y)=0 时存在。
(2)根据以上结果，如果f(x,y)在(0,0)可微，则f(x,y)=o((x^2+y^2)^(1/2))(高阶无穷小）
若 lim(x-->0,y-->0)Phi(x,y)=0， 则 f(x,y)在(0,0)可微。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示