Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；（2）求证：MN⊥平面PCD；（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围．

Answer 1

（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD． 故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角． 在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分） （2）如图，取PD中点E，连接AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点， ∴EN ∥ 1 2 CD ∥ 1 2 AB∴AMNE是平行四边形∴MN ∥ AE． 在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线．∴AE⊥PD． 由PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD 又CD⊥AD，AD∩PD=D ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE， 又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD．…（7分） （3）∵AD ∥ BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角． 由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x（x＞0）．∴tan∠PCB= a 2 + x 2 a = 1+ ( x a ) 2 ． 又∵ x a ∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）． 又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈（ π 4 ， π 2 ）， 即异面直线PC，AD所成的角的范围为（ π 4 ， π 2 ）．…（12分）