Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）已知函数f（x）= 1 2 x 2 +alnx，则导数 f ′ (x)=x+ a x 函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知： f ′ (2)=2+ a 2 =1 ，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2 （Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数， 则 f ′ (x)=x+ a x ≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得 a≥-x 2 ，而（-x 2 ）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1 故a的取值范围为：a≥-1．