Question

选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴

选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C l 的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C 2 的参数方程为 x=tcosα y=tsinα (t 为参数）．（I）当 α= π 4 时，求曲线C l 与C 2 公共点的直角坐标；（II）若 α≠ π 2 ，当α变化时，设曲线C 1 与C 2 的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C 1 的直角坐标方程为x 2 +y 2 -2x=0．① 当α= π 4 时，曲线C 2 的普通方程为y=x．② 由①，②得曲线C 1 与C 2 公共点的直角坐标方程为（0，0），（1，1）．…（4分） （Ⅱ）C 1 是过极点的圆，C 2 是过极点的直线． 设M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），则2ρ=2cosθ．…（7分） 故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ（θ≠ π 2 ）． 它表示以（ 1 2 ，0）为圆心，以 1 2 为半径的圆，去掉点（0，0）．…（10分）