Question

（2013?孝南区一模）在直角三角形ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆过AC上一点D，

（2013?孝南区一模）在直角三角形ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆过AC上一点D，且BD平分∠ABC．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若BC=2，sinA=13，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵BC=2，sinA=

1

3

，∠C=90°，
∴

BC

AB

=

1

3

，
∴AB=6，
设⊙O半径为R，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，
∴

R

2

=

6?R

6

，
R=

3

2

，
即⊙O的半径为

3

2

．