Question

（2009?益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对

（2009?益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．（4分）
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．（5分）
∴四边形AEGF是正方形．（6分）

（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x，（7分）
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x-2，CG=x-3．（9分）
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（x-2）²+（x-3）²=5²（11分），
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，化简得，x²-5x-6=0．
解得x₁=6，x₂=-1（舍），
所以AD=x=6（12分）．