Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P．（1）求c，b（用t的代数式表示）；（2）抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M，N两点，当t＞1时，①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值；②△MPN的面积S与t的函数关系式；③是否存在这样的t值，使得以O，M、N，P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得O（0，0），P（t，0），
代入y=-x²+bx+c，
得c=0，
-t²+bt=0，
即b=t．
即y=-x²+tx．

（2）当t＞1时，①M（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，sin∠MPO=sin45°=

2

2

是定值．
②当1＜t≤5时，N（5，5t-25），
如图1，

过点N作AM的垂线，垂足为B，
S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△MBN，
=

1

2

（t-1）²+

1

2

（t-1+4）×（25-5t）-

1

2

（t-1-5t+25）×4，
=-2t²+12t-10，
当t＞5时，如图2，


S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，
=

1

2

（t-1+5t-25）×4+

1

2

（5t-25）（t-5）-

1

2

（t-1）²，
=2t²-12t+10，

③存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．
当MP∥ON时，如图3，

∵∠OPM=45°，∴∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x²+tx得-25+5t=-5．
解得t=4；
当MN∥OP时，如图4，

则M，N关于对称轴x=3对称，
即-

t

2×(?1)

=3，
解得：t=6．
综上，当t=4或t=6时，以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．