Question

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是多少

Answer 1

∵ABCD－A1B1C1D1是
正方体
，∴ABCD、AA1B1B、AA1D1D是三个全等的正方形，
∴A1B＝A1D＝BD＝√2AB＝2√2，∴△A1BD的面积＝（1/2）BD^2sin60°＝2√3。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AB⊥平面AA1D1D，
∴B－A1D1D的体积＝（1/3）△A1D1D的面积×AB＝（1/6）AA1D1D的面积×AB＝8/6＝4/3。
显然，B－A1D1D的体积＝D1－A1BD的体积。
令D1到平面A1BD的距离为d，则：4/3＝（1/3）△A1BD的面积×d＝（1/3）×2√3×d，
∴d＝4/（2√3）＝2√3/3。
即：D1到平面A1BD的距离为
2√3/3。