Question

高等数学问题，积分选择题，问题如图

请问这道题要怎么判断，我感觉都对。

Answer 1

只有A是对的。
B项，等号左边结果是0，因为会正负相抵消，而等号右边是正数。
C项，只有当f(x,y)在D内恒>0,才等于曲顶柱体积，若f(x,y)恒<0,则等于曲顶柱体积的相反数。若f(x,y)在D内有正有负，则不等于体积，甚至结果可能为0. 这与一元函数的定积分很相似。
D项同理，等号左边结果是0，而等号右边是正数。

追问

恩，对称方面有点抽象

所以我找了下面这道，你能帮我解释一下吗

追答

三重积分说白了就是用每一个体积元乘以对应的f(x,y,z),然后累加。
如题，假设我把上下半球各分成100个小块（事实上是无限块，这里从简），上半球小块记为A1，A2.....A100. 对应的被积函数的值分别为f(A1),......f(A100)
下半球小块分别记为a1, a2,.....a100. 对应的被积函数的值分别为f(a1),......f(a100)
每个体积元的体积都为V。
根据定义，原式=【f(A1)+......+f(A100) + f(a1),......f(a100) 】乘以V
由于上下半球的对称性，f(A1)与f(a1)是互为相反数的，因为块A1与块a1 的x,y大小相等，而z互为相反数。故原式正负相抵，为0