Question

已知函数单调性,求出参数的范围

若函数f(x)=Loga(x²-ax) (a>0 ,a≠1)在区间( -(1/2),0 )内单调递增,则a的取值范围是____?

Answer 1

(1)若0<a<1,则外层的对数函数y=loga(t)是减函数，为了使f(x)在（-0.5，0）内单调递增，必须t=x²-ax在（-0.5，0）内值恒正且为减函数，而这只要其对称轴x=a/2在右半平面即可，即a/2>0，亦即a>0，讨论前提正好满足此条件。
(2)若a>1，则外层的对数函数y=loga(t)是增函数，为了使f(x)在（-0.5，0）内单调递增，必须t=x²-ax在（-0.5，0）内值恒正且为增函数，而这首先就要求其对称轴x=a/2在x=-0.5的左半平面，即a/2<-0.5，亦即a<-1，这与讨论前提不符。故这种情况不可能。
综合两种情况得：a的取值范围是0<a<1

Answer 2

令 t=x^2-ax>0, x<a或x<0
在（-无穷，0）上递减，在（a,+无穷）上增
y=log(a)t
当a>1时， y=log(a)t 递增， 故f(x)=Loga(x²-ax) (a>0 ,a≠1)在区间( -(1/2),0 )内单调递增,，符合条件
当0<a<1时， y=log(a)t 递减，故f(x)=Loga(x²-ax) (a>0 ,a≠1)在区间( -(1/2),0 )内单调递减,，不符合条件

综上： a>1