Question

已知三角形abc中角abc的对边分别为abc,满足c=a·cos(a+c),tanc的最大值

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Answer 1

c=acos(A+C)
所以sinC=sinAcos(A+C)=-sinAcosB
所以sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB
所以cosAsinB=-2sinAcosB
所以tanB/tanA=-2
tanB=-2tanA
因为tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=tanA/[1+2(tanA)^2]
=1/[(1/tanA)+2tanA]
因为sinC/sinA=cos(A+C)=-cosB>0
所以cosB<0,B为钝角
所以A,C为锐角
所以(1/tanA)+2tanA>=2√2
所以tanC<=1/2√2＝√2/4
所以最大值是√2/4

Answer 2

追答

前面我写的有点多余，你看下