Question

这个积分怎么积？求步骤

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Answer 1

原式=-4Aπ/a*∫(0,+∞)xd[e^(-ax^2)]
=-4Aπ/a*[xe^(-ax^2)|(0,+∞)-∫(0,+∞)e^(-ax^2)dx]
=-4Aπ/a*[0-0-√(π/a)/2]
=2A(π/a)^(3/2)

追问

∫(0,+∞)e^(-ax^2)dx] 到 √(aπ)/2 是为啥？

追答

我们先来算a=1的情况，即∫(0,+∞)e^(-x^2)dx

要计算∫(0,+∞)e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.
那个D表示是由中心在原点,半径为m的圆周所围成的闭区域.
下面计算这个二重积分:
解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤m,0≤θ≤2π
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ
=∫(0,2π)[∫(0,m)e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-m^2)∫(0,2π)dθ
=π(1-e^(-m^2))

下面计算∫(0,+∞)e^(-x^2)dx ;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
可以画出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdy.
∵∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫(0,R)e^(-x^2)dx*=∫(0,R)e^(-y^2)dy
=(∫(0,R)e^(-x^2)dx)^2.
又应用上面得到的结果:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-m^2))
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).
于是上面的不等式可写成:
(π/4)(1-e^(-R^2))<(∫(0,R)e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).
令R→+∞,上式两端趋于同一极限π/4,从而
∫(0,+∞)e^(-x^2)dx =√(π)/2

再令x=√a*t，则dx=√a*dt
∫(0,+∞)e^(-x^2)dx=√a*∫(0,+∞)e^(-at^2)dt=√(π)/2
所以∫(0,+∞)e^(-at^2)dt=√(π/a)/2

Answer 2

a 应该大于0吧，
使用分部积分法做啊

追问

不好做吧，能简单写一下？

追答

先把e那个凑到微分后面分部积分，罗比达法则求极限，后面在凑微分就可以了，