Question

0/0型极限，分子分母各项之间为加减，不一定能用等价无穷小为什么

Answer 1

楼主的问题，涉及到的是我们的教学特色问题：

1、等价无穷小代换，只有在国内才被炒作，才被渲染到至高无上的境地；

2、渲染等价无穷小代换，能使学生觉得庸师不庸，窝囊教师才高十八斗；
将半年之后才学的麦克劳林级数拿到初学者面前耀武扬威，能不得瑟？
原理不讲清，却要学生死记硬背一大堆莫名其妙的等价代换能不轻松？

3、等价无穷小，只有在比值取极限等于1时，才等价；
但是不排除分子上的 f(x)、 g(x) 都含有高阶无穷小，而随意代换后就
忽略了高阶无穷小之和，而分母又恰恰是高阶无穷小，错误就产生了。

例如：
当x趋向于0时，( tanx - sinx ) / x³ ，若随意代换 sinx ～ x、tanx ～x，
分子为0，而分母只是趋向于0，而不是0，答案就变成了 0.

事实上，分子是 ( x + x³/3 ) - ( x - x³/6 ) = x³/6，答案是1/6。
这样解答的实质是运用麦克劳林级数展开，但是刚愎自用、牵强附会的
教师，依然会扯成等价无穷小代换。

原谅他们吧，他们的语言能力，概念的理解能力极其有限，让他们去硬拗吧。

Answer 2

引用无才无貌无权势的回答：
楼主的问题，涉及到的是我们的教学特色问题：

1、等价无穷小代换，只有在国内才被炒作，才被渲染到至高无上的境地；

2、渲染等价无穷小代换，能使学生觉得庸师不庸，窝囊教师才高十八斗；
将半年之后才学的麦克劳林级数拿到初学者面前耀武扬威，能不得瑟？
原理不讲清，却要学生死记硬背一大堆莫名其妙的等价代换能不轻松？

3、等价无穷小，只有在比值取极限等于1时，才等价；
但是不排除分子上的 f(x)、 g(x) 都含有高阶无穷小，而随意代换后就
忽略了高阶无穷小之和，而分母又恰恰是高阶无穷小，错误就产生了。

例如：
当x趋向于0时，( tanx - sinx ) / x³ ，若随意代换 sinx ～ x、tanx ～x，
分子为0，而分母只是趋向于0，而不是0，答案就变成了 0.

事实上，分子是 ( x + x³/3 ) - ( x - x³/6 ) = x³/6，答案是1/6。
这样解答的实质是运用麦克劳林级数展开，但是刚愎自用、牵强附会的
教师，依然会扯成等价无穷小代换。

原谅他们吧，他们的语言能力，概念的理解能力极其有限，让他们去硬拗吧。

。。层主举例的正确答案应当是0.5！