Question

大学微积设方程f(x,y)可微，若f'x(x,y)=3x^2-3y^2

且f(y,y)=2y^3-3y^2,求f(x,y)的极值

Answer 1

由f'x=3x²-3y²
对x积分得：f(x, y)=x³-3y²x+g(y)
故f(y, y)=y³-3y³+g(y)=2y³-3y²
得g(y)=4y³-3y²
故f(x, y)=x³-3y²x+4y³-3y²
f'y=-6xy+12y²-6y=0, 得：y=0, 或x=2y-1
f'x=3x²-3y²=0得x=y, 或x=-y
解得驻点为(0, 0), (1, 1), (-1/3, 1/3)
A=f"xx=6x
B=f"xy=-6y
C=f"yy=-6x+24y-6
在(0, 0), A=0, B=0, C=-6, B²-AC=0, 不是极值点；
在(1,1), A=6, B=-6, C=12, B²-AC=36-72=-72<0, 因此这是极小值点，极小值为f(1,1)=-1;
在(-1/3,1/3), A=-2,B=-2, C=4, B²-AC=4+8=12>0, 不是极值点。