Question

已知函数对于任意的实数a,b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立。那么对任意的x∈R，f(x)是否都为0？

高一数学，做题遇到这样一个函数。已知函数对于任意的实数a,b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立。
原题是这样说的：
已知函数f(x)对任意实数a,b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
1）求f(0)，f(1)的值 ；
2）求证f(1/x)+f(x)=0；
3）若f(2)=m,f(3)=n（m,n均为常数）,求f(36)的值.
现在问题来了，令a=b=0，则f(0)=f(0)+f(0)，可得f(0)=0。令a=0，则f(0)=f(0)+f(b)，则f(b)=0，即推出这一结论：对任意的x∈R，f(x)是否都为0。既然已经推得这一结论，那么原题的2、3小问还有何意义？不就直接出来了嘛？还是我的证明有问题呢……求解。

Answer 1

(1)f(0)=f(0x0)=f(0)+f(0)=2f(0)
f(0)=0
同理可证：f(1)=0
(2)f(1)=f(1/x X x)=f(1/x)+f(x)=0
f(x)=-f(1/x)
f(1/x)+f(x)=f(1/x)-f(1/x)=0
(3)f(36)=f(2x2x3x3)=f(2x2)+f(3x3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2m+2n
望采纳